Les Égyptiens mesuraient les distances en cubits, divisés en 7 paumes, elles-mêmes divisées en 4 doigts.

Pour les mesurer les pentes, ils utilisaient le seked, qui est le nombre de paumes parcourues horizontalement pour monter d’un cubit.

La pente des faces de la pyramide de Khéops est de 5 1/2 sekeds (5 paumes deux doigts). Pour calculer l’angle qu’une face forme avec l’horizontale, il suffit de calculer l’angle dont la tangente vaut 7/5,5. On trouve 51.842773413 degrés, ce qui correspond à l’angle mesuré.

Une fois la longueur a du côté de la base carrée décidée et la pente établie à 5 1/2 sekeds, la hauteur vaut nécessairement 7/5,5 fois la demi longueur d’un côté, soit 7 x a / 11. Le périmètre de la base vaut 4 x a. La circonférence du cercle construit en prenant comme rayon la hauteur vaut 2 x pi x la hauteur, soit 14 x pi x a / 11. En supposant que le périmètre et cette circonférence sont égaux, on obtient en fait une équation pour pi : 14 x pi x a / 11 = 4 x a, ou en simplifiant, pi = 22/7.

Cette valeur de pi n’est qu’une approximation, on sait depuis les Grecs que le rayon et la circonférences d’un cercle sont des grandeurs incommensurables, autrement dit, que pi est un nombre irrationnel, qui ne peut s’exprimer comme le rapport de deux nombres entiers. Mais 22/7 est une bonne approximation pour la plupart des calculs et il se peut que les Égyptiens aient cru en fait que le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre était égal à 22/7.

Revenons aux unités de longueur, le cubit, la paume et le doigt.

Que la paume soit égale à 4 doigts, c’est facile à comprendre, il suffit de regarder sa main. Comme unités de longueur, la paume et le doigt sont très utiles en agriculture : "semer en espaçant les graines de 1 doigt", "planter les poireaux en les espaçant d’une paume". La main de chaque individu est différente, mais en agriculture, cela n’est pas critique. En architecture, par contre, il a fallu utiliser des étalons plus précis, tout en gardant les mêmes mots.

On peut s’étonner qu’ils ait choisi comme autre unité le cubit qui vaut 7 paumes. Pourquoi 7 ? Pourquoi pas 10 ou 12 ?

Le chiffre 7 n’a rien de magique et ce choix peut se comprendre facilement en admettant que les Égyptiens croyaient que pi était égal à 22/7 et qu’ils calculaient rien qu’avec des nombres entiers. Avec ce choix d’unités, il s’assuraient que si le rayon d’un cercle vaut un nombre entier de cubits, disons n cubits, la circonférence vaut n x 2 x 22/7 cubits, ou encore 44 x n paumes, un nombre entier de paumes à chaque coup.

Le nombre d’or phi apparait souvent dans le rapport de dimensions de meubles ou autres créations humaines qu’on trouve "bien proportionnées". On le retrouve aussi dans de nombreuses œuvres d’art. Notre cerveau semble câblé pour trouver agréable à regarder un objet où ce nombre apparait. Cela ne signifie pas que l’artiste connaissait le nombre d’or. Simplement, en essayant de produire une forme agréable à voir, il est tombé sur des proportions qui sont égales à ce nombre, sans qu’il ait sciemment calculé les dimensions de l’objet pour qu’il en soit ainsi.

Revenons à la pyramide de Khéops. La pente a été choisie parmi un choix de sekeds faisant appel à des nombres entiers, par exemple 5 paumes, 5 paumes + 1 doigt, 5 paumes + 2 doigts, etc. Que se passe-t-il si on choisit 5 paumes 2 doigts ? On obtient une forme "bien proportionnée". Pourquoi ?

Si on construit un triangle rectangle en joignant le centre de la base, le milieu d’un côté de la base et le sommet de la pyramide, le carré de l’hypothénuse (la médiatrice d’un face) vaut (a/2)^2 + (7 x a /11)^2 = (a/2)^2 [1 + (14/11)^2] = (a/2)^2 x (1 + 196/121) = a/2)^2 x 317/121.

Ce rapport 317/121, 2.619834711 est une bonne approximation rationnelle du carré du nombre d’or irrationnel (1,618033989)^2 = 2,61803399.

En résumé, il me semble clair que la pente des faces de la pyramide a été choisie égale à 5 paumes + deux doigts pour des raisons esthétiques, ce choix basé sur des nombres entiers simples faisant apparaitre une bonne approximation de nombre d’or dans les proportions. Ce choix est aussi attrayant, si on aime les nombres, parce qu’il entraîne que la circonférence construite en prenant la hauteur comme rayon a la même longueur que le périmètre de la base, dans l’approximation où pi vaut 22/7.

Les proportions de la pyramide n’encodent pas le nombre pi ou le nombre phi. Le choix de la pente pour des raisons esthétiques, parmi un choix limité de valeurs entières conduit automatiquement à des proportions qui font apparaitre des approximations rationnelles (rapports de nombres entiers) des nombre pi et phi, qu’on connaisse ces nombres ou pas !