Mathématiques : "Et si le théorème de Pythagore n’était pas vrai ?" par Étienne Ghys
(1) : espace plat (plan euclidien), et espace courbe convexe (2) et concave (3).
Cette vidéo est une mini-conférence sur la notion de vrai et d'axiome en mathématique, et plus généralement sur l'impression que nous avons de notre réalité.
Un exposé passionnant qui fait parfois peur : l'exemple du monde imaginé par Henri Poincaré est tout à fait intéressant et étonnant. Ce qui est un peu terrifiant, c'est que ses habitants ne s'aperçoivent de rien : tout leur parait normal et n'ont aucun moyen de savoir qu'ils sont dans un monde étrange et fini. Qui sait si nous-mêmes ne sommes pas dans une situation similaire, sans même nous en apercevoir ?
À voir !
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Tags : Etonnant Science et techno
14 réactions à cet article
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Oui enfin dans notre petit monde familier, le théorème de Pythagore (qui n’est d’ailleurs pas de Pythagore puisque qu’il était déjà connu à Babylone) est totalement vrai. Prenez une règle, mesurez les 3 côtés d’un triangle rectangle, même avec une précision microscopique, et je vous défie de trouver autre chose que ce que prévoit le théorème.
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Maintenant il est vrai qu’en mécanique relativiste, le théorème est faux, mais cela ne nous concerne pas (bien que déjà dans les trajectoires des satellites par rapport à nos repères terrestres, la géométrie euclidienne devienne suffisamment fausse pour qu’il faille un peu corriger avec la relativité).
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Que le père Poincaré ait mis en évidence ce nouveau modèle, cela n’est pas étonnant, puisque c’est lui le réel inventeur de la relativité (Einstein ayant pompé tous ses travaux sans jamais le citer). J’avais posé la question à Aurélien Barrau à la fin d’une de ses conférences, il l’a admis à demi-mot, mais on sentait que ça lui arrachait la gorge
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@medialter
https://www.youtube.com/watch?v=wY4CwAhF19g
Babylone l’Inde la Grèce la Perse la Syrie l ’Irak l Égypte l’Iran l’Allemagne la France, la mathématique est une culture sans frontière.
Le théorème d’Al Kashi est l’extension du théorème de Pythagore. C’était un iranien de Kashan vivant vers 1300.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Al-Kashi
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore
"Le théorème de Pythagore : Ce théorème permet notamment de calculer l’une de ces longueurs à partir des deux autres. Il est nommé d’après Pythagore de Samos, philosophe de la Grèce antique. Cependant le résultat était connu plus de mille ans auparavant en Mésopotamie, et, même si les mathématiciens grecs en connaissaient probablement une démonstration avant Euclide, auteur dans ses Éléments de la plus ancienne qui nous soit parvenue, rien ne permet de l’attribuer à Pythagore. Par ailleurs le résultat a vraisemblablement été découvert indépendamment dans plusieurs autres cultures."
Mais wikipedia ne donne pas l’auteur ni la région de la découverte du théorème.
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@alanhorus
Suite et fin Pythagore et Euclide étaient semble t il bien malgré eux les Einstein de l’époque (mais ils ne le savaient pas sauf s’ils ont vu retour vers le futur et ses images subliminal du 11 septembre 2001)
En effet la tablette plimton 322 entre autres datée de -1700 avant JC alors que pythagore était de -580 avant JC.
Dans les mathématiques babyloniennes
Certaines tablettes prouvent que le résultat que nous connaissons sous ce nom était connu des Babyloniens un millier d’années avant Pythagore. Dans une tablette datée d’environ ?1700 figure le problème suivant : une poutre de longueur 0 ; 30 est placée contre un mur, de même hauteur (d). Son extrémité supérieure glisse et descend de 0 ; 6 soit (d ? h). À quelle distance du mur (b) se trouve maintenant son extrémité inférieure ? Le calcul de b est fait en calculant d² ? h². Le même problème, sous des formes variées se retrouve jusqu’à nos jours, et était un problème classique dans les textes arabes.
Une autre tablette (Plimpton 322) tout à fait remarquable présente des listes de nombres entiers appelés triplets pythagoriciens, c’est à dire de triplets d’entiers solutions de l’équation x² + y² = z². Cette tablette est le plus ancien document connu de théorie des nombres. Elle fut écrite entre ?1900 et ?1600. Les nombres qui figurent sur cette tablette excluent une découverte par hasard. Voici par exemple les nombres (ici écrits en base 10) qui figurent sur les quatre premières lignes
http://www.mediamaths.net/article-histoire-du-theoreme-de-pythagore-63742847.html
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@medialter
« Oui enfin dans notre petit monde familier, le théorème de Pythagore (qui n’est d’ailleurs pas de Pythagore puisque qu’il était déjà connu à Babylone) est totalement vrai »
Le théorème de Pythagore est vrai. tout simplement. Pourquoi ? Parce qu’il s’inscrit dans une géométrie Euclidienne. L’erreur, c’est de croire qu’elle est universelle. Il y a bien longtemps que tous les mathématiciens et physiciens connaissent parfaitement ses limites. Voici l’introduction de Wikipedia sur ce théorème :
« Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne »
« Einstein ayant pompé tous ses travaux sans jamais le citer »
Il a pompé sur tous ces prédécesseurs, comme font tous les théoriciens. Une théorie s’appuie sur un acquis. Fallait-il aussi qu’il évoque Galilée, Copernic, Newton et tous les autres ?
Quant à Poincaré, si ces équations sont proches de celles d’Einstein, il n’a pas su les interpréter comme l’a fait notre génie mondial. C’est toute la différence. Poincaré n’a écrit ni la relativité restreinte, ni surtout la relativité générale (qu’Einstein n’aurait jamais pu formuler sans l’aide de mathématiciens plus pointus que lui) qui va bien plus loin que les travaux de Poincaré.
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@pegase
"Je ne comprend pas ce que vous dites (quelque chose doit m’échapper) le théorème de Pythagore concerne la géométrie, elle est la même dans l’espace .. non ?"Ce n’est pas un problème d’espace mais d’axiome. Donc ce n’est pas une question physique mais mathématique. Les mathématiques procèdent par démonstrations consistant en enchaînements logiques prenant appui au départ sur la décision de croire vraie une formule initiale (l’axiome). Il suffit de choisir une autre formule initiale pour aboutir à un autre système. Les mathématiques peuvent fort bien donner des résultats "improbables" ou "irréels", cela n’a pas d’importance pour le mathématicien tant que le procédé de raisonnement est mathématiquement juste.
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@pegase
"Je ne comprend pas ce que vous dites (quelque chose doit m’échapper)"*
Quelle partie du paragraphe ?
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Pour la première, le théorème de Pythagore est juste quand la courbure de l’espace-temps est nulle, il est faux quand elle est non nulle. La correction est donnée par la métrique de Schwarzschild dans le champ gravitationnel correspondant.
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Pour la seconde, voir Ici la correction relativiste pour le GPS
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@pegase
"Donc dans l’absolu elle est fausse ici bas"*
Dans l’absolu, il est juste de dire en physique que 10000000001=10000000000. Mais c’est faux en mathématiques. Le segment infinitésimal qui tangente un arc de cercle se confond avec l’arc de cercle lui même, simple question d’échelle. C’est pour cette même raison qu’on a toujours cru que la terre était plate.
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@medialter
C’est pour cette même raison qu’on a toujours cru que la terre était plate......
Non pas ! "ceux" qui ont construit les pyramides ( par ex..) connaissaient parfaitement la rotondité de la terre et le système héliocentrique, ainsi que ++++....
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@pegase
« Je ne comprend pas ce que vous dites (quelque chose doit m’échapper) le théorème de Pythagore concerne la géométrie, elle est la même dans l’espace .. non ? »Je vais te répondre par une analogie que tout le monde peut comprendre :
décolle la peau d’une mandarine. Mets-la bien à plat et traces dessus un triangle. Remets la peau sur sa mandarine. Tu constateras que la somme des trois angles fait un peu moins que 180°. Parce que tu as courbé ton espace, au départ en deux dimensions (plat) dans une troisième dimension. Pour l’espace-temps c’est la même chose, sauf qu’il fait quatre dimensions, trois pour l’espace tel qu’on le connait dans la vie de tous les jours et une pour le temps.
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@ZardoZ
vlad c’est mon poteau, et passe un bon réveillon ZZ autour d’une bonne truite saumonée.A l’année prochaine pour de nouvelles aventures avec Vladimir put in the baba à banania.
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Il n’existe aucune géométrie qui ne soit pas incluse dans l’espace euclidien, mais une infinité qui puisse varier dans son temps.
Autrement dit, l’espace euclidien est universel, c’est sa fonction temporelle qui, seule, varie
La géométrie d’Euclide est définit dans un espace-temps fixe, tandis que les géométries dites non euclidiennes, évoluent avec des valeurs temporelles différentes qui modifient de facto la relation avec l’espace, donc l’espace-temps.
C’est toujours le temps qui modifie l’espace, pas l’inverse.
Mais encore faut t-il savoir exactement ce qu’est le temps.
Or, le temps est lui même un espace, mais dont la fonction est de déterminer le rapport d’échelle face à l’espace dit euclidien.
autrement dit, le temps est l’unité de mesure de l’espace. Ou si vous préférez, le temps est la dimension de la case d’un damier ou pour un écran d’ordinateur, le pixel. En d’autres termes, le temps est aussi un espace, mais parfaitement définit, au contraire de l’espace, qui lui est infini en lui même sans sa fonction temporelle. Je défie quiconque de définir un espace sans la valeur temporelle !
Dans la géométrie euclidienne, l’unité de mesure ou temps est uniforme, quel que soit l’endroit ou l’objet mesuré, alors que dans les autres géométries, l’unité de mesure évolue en fonction de l’endroit ou de l’objet mesuré (et pour cause !). Bref, en dehors de la géométrie euclidienne, le temps n’est pas linéaire, sa valeur fluctue selon les règles que l’on veut pour définir l’espace. Mais ce dernier, reste toujours un espace euclidien. Le,5ème postulat d’Euclide définit donc l’espace-temps linéaire.
Il en ressort que, dès qu’on sort de l’espace-temps ou géométrie euclidienne, on introduit de facto une valeur de gravité.
En effet, dès lors que le temps n’est pas linéaire, cela signifie qu’il est évolutif et cette évolution ne peut que se traduire par des compression et dépression de l’espace par sa variable temporelle. Mais encore et toujours, ce n’est pas l’espace qui change, évolue, c’est son unité de mesure qu’est le temps (on sort d’un temps uniforme en tout point de l’espace).
Ce qu’il faut bien retenir, c’est que, quelle que soit la géométrie, on a toujours affaire à un espace-temps, sans cela, on ne peut pas parler de géométrie, puisqu’il n’y a rien à mesurer dans l’espace seul.
Bon, la différence introduite ici est subtile, très subtile, mais ses conséquence sont phénoménales !
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Ce n’est pas pour rien que tout énoncé mathématique commence toujours par la description du domaine dans lequel il s’applique.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_d%C3%A9finitionPar ailleurs nous vivons déjà dans le monde étrange décrit dans la vidéo, à ceci près que pour nous c’est la vitesse de la lumière qui peut-être considéré comme la limité du monde, lorsqu’on ce rapproche de cette limite le temps et les dimensions raccourcissent, nous sommes donc littéralement plus lent et plus petits, exactement comme dans le monde décrit dans la vidéo.
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