Il n’est nullement évident que A "tend vers 0", ce qui est d’ailleurs faux. Si A devait tendre vers quelque chose, ce serait bien vers 0,5.

Non, le souci n’est pas là. Le souci est que A ne tend pas.

Et toute cette démonstration repose sur l’existence de ce nombre A qui serait la somme des (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 +...

Il est tout à fait possible de prouver que A n’existe pas.

Et sans l’existence de A, c’est toute la suite de la démonstration qui est mise à mal, invalidant ainsi le fameux résultat "-1/12".

En voici la preuve (qui utilise principalement la définition usuelle de la limite, telle qu’on peut la trouver dans cet article http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques%29 ).

On définit : U(n) = (-1)^n la suite des +1 ;-1 ; +1 ; -1...
On définit S(n) = somme de 0 à n des U(n)

Commençons par un lemme préliminaire.

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Lemme : la suite S(n) ne prend que les valeurs 1 et 0, alternées, 1 pour les n pairs et 0 pour les n impairs.

Démonstration :

Supposons que pour n>=0, S(n) = 1 si n pair et S(n) = 0 si n impair.

Si n est pair : S(n+1) = S(n) + (-1)^(n+1) = 1 + -1 = 0
Si n est impair : S(n+1) = S(n) = (-1)^(n+1) = 0 + 1 = 1

De plus, S(0) = 1, et S(1) = 0.

Donc par récurrence : pour tout n, S(n) = 1 si n est pair, et S(n) = 0 si n est impair.
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Entamons ensuite la démonstration principale.

Supposons que S(n) converge vers un nombre réel A (hypothèse de départ).

Dans ce cas : qque soit e>0, il existe un N tq pour tout n>N :
| S(n) - A | < e (définition de la limite)

Donc tq : S(n) - e < A < S(n) + e

Prenons e = 1/2 (puisque la convergence implique l’inégalité pour tout e > 0)

On sait alors qu’il existe un N tel que pour tout n>N,
S(n) - 1/2 < A < S(n) + 1/2

Or, d’après le lemme préliminaire, S(n) ne prend que 2 valeurs, 1 et 0, alternées.

Prenons un n0 > N tel que S(n0) = 0
Dans ce cas : S(n0) - 1/2 < A < S(n0) + 1/2
=> -1/2 < A < 1/2

Mais, on a aussi que :
S(n0+1) - 1/2 < A < S(n0+1) + 1/2

Or, S(n0+1) = 1 (puisque S(n0) = 0)

Donc : 1 - 1/2 < A < 1 + 1/2
=> 1/2 < A < 3/2

Ce qui implique que A < 1/2 et A > 1/2

Contradiction.

Par l’absurde, l’hypothèse faite au départ (la série S(n) converge vers un nombre réel A) est fausse, et A n’existe pas.

CQFD.