Très étonnant et un peu démentiel : la somme infinie des entiers naturels 1+2+3+ ... + ? vaudrait -1/12

Bingo, c’est comme si on dedoublait un element dans l’ensemble des entiers en pretendant que ca ne le change pas, et qu’apres on s’etonne que la soustraction du nouvel ensemble avec le vrai ensemble des premiers ne fasse pas zero.

>comme si on dedoublait un element dans l’ensemble des entiers

dans l’ensemble des premiers bien sur...

D’autre part il est assez évident que A tend vers zéro comme
-A d’ailleurs..
Vous vous trompez, A=1 -1 + 1-1+... est une série
alternée non convergente
:elle vaut 1 puis 0, puis 1, puis 0 et ainsi de suite mais ne tend vers aucun nombre à proprement parlé
Il en est de même pour 1-A.

complétement d’accord, il n’empêche que le raisonnement tiens pas trop trop la route :)

Deuxièmement, vous affirmez ouvertement que c’est un résonnement idiot, mais aussi que vous n’allez même pas jusqu’au bout de la video, donc ne suivez pas le résonnement jusqu’au bout. Permettez moi de vous dire que ça, c’est idiot

En maths, à partir du moment où le début d’une démonstration est faux, tout le reste est faux. C’est comme ça. En l’occurence, l’auteur du calcul manipule une série infinie en omettant de prouver d’abord sa convergence. C’est totalement interdit, va tenir ce genre de raisonnement sur une copie au lycée ou à l’université, et c’est bien ta note qui tendra vers zéro 

Pour continuer le jeu des citations (là c’est du mathématicien Abel dans les années 1820) ;

« Les séries divergentes sont une invention du diable et c’est une honte qu’on ose fonder sur elles la moindre démonstration. On peut tirer d’elles tout ce qu’on veut quand on les emploie et ce sont elles qui ont produit tant d’échecs et tant de paradoxes. Peut-on penser chose plus effroyable que de dire :

0)" />

Mes amis, voici quelque chose dont il faut se moquer15. »

L’arnaque consiste à faire des égalités sur des ensembles infinis ce qui est idiot.

Non, tu as tout à fait le droit de faire des égalités sur des séries infinies, à partir du moment où tu as prouvé que ces séries étaient convergentes, donc qu’elles tendent vers une valeur réelle.

Il n’est nullement évident que A "tend vers 0", ce qui est d’ailleurs faux. Si A devait tendre vers quelque chose, ce serait bien vers 0,5.

Non, le souci n’est pas là. Le souci est que A ne tend pas.

Et toute cette démonstration repose sur l’existence de ce nombre A qui serait la somme des (-1)^n = 1 - 1 + 1 - 1 +...

Il est tout à fait possible de prouver que A n’existe pas.

Et sans l’existence de A, c’est toute la suite de la démonstration qui est mise à mal, invalidant ainsi le fameux résultat "-1/12".

En voici la preuve (qui utilise principalement la définition usuelle de la limite, telle qu’on peut la trouver dans cet article http://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_%28math%C3%A9matiques%29 ).

On définit : U(n) = (-1)^n la suite des +1 ;-1 ; +1 ; -1...
On définit S(n) = somme de 0 à n des U(n)

Commençons par un lemme préliminaire.

---------------------------
Lemme : la suite S(n) ne prend que les valeurs 1 et 0, alternées, 1 pour les n pairs et 0 pour les n impairs.

Démonstration :

Supposons que pour n>=0, S(n) = 1 si n pair et S(n) = 0 si n impair.

Si n est pair : S(n+1) = S(n) + (-1)^(n+1) = 1 + -1 = 0
Si n est impair : S(n+1) = S(n) = (-1)^(n+1) = 0 + 1 = 1

De plus, S(0) = 1, et S(1) = 0.

Donc par récurrence : pour tout n, S(n) = 1 si n est pair, et S(n) = 0 si n est impair.
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Entamons ensuite la démonstration principale.

Supposons que S(n) converge vers un nombre réel A (hypothèse de départ).

Dans ce cas : qque soit e>0, il existe un N tq pour tout n>N :
| S(n) - A | < e (définition de la limite)

Donc tq : S(n) - e < A < S(n) + e

Prenons e = 1/2 (puisque la convergence implique l’inégalité pour tout e > 0)

On sait alors qu’il existe un N tel que pour tout n>N,
S(n) - 1/2 < A < S(n) + 1/2

Or, d’après le lemme préliminaire, S(n) ne prend que 2 valeurs, 1 et 0, alternées.

Prenons un n0 > N tel que S(n0) = 0
Dans ce cas : S(n0) - 1/2 < A < S(n0) + 1/2
=> -1/2 < A < 1/2

Mais, on a aussi que :
S(n0+1) - 1/2 < A < S(n0+1) + 1/2

Or, S(n0+1) = 1 (puisque S(n0) = 0)

Donc : 1 - 1/2 < A < 1 + 1/2
=> 1/2 < A < 3/2

Ce qui implique que A < 1/2 et A > 1/2

Contradiction.

Par l’absurde, l’hypothèse faite au départ (la série S(n) converge vers un nombre réel A) est fausse, et A n’existe pas.

CQFD.