Soit on fait vraiment des maths (avec la rigueur qui s’impose) soit on en fait pas.

Il est interdit de manipuler toute limite ou série "A" dans des calculs avant d’avoir démontré l’existence de A, c’est à dire sa convergence (cela signifie qu’elle tend vers UNE valeur réelle, et pas vers l’infini). Or comme le dit Alcofribas, A n’est pas une série convergente. C’est un truc de base en maths pourtant, de niveau lycée (un peu plus pour les séries, mais ceux qui ont vu les limites comprennent le principe).

La série A c’est en fait la série de Grandi ( http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Grandi ), je cite :

Ainsi, selon la définition moderne de la convergence d’une série, la série de Grandi est divergente. D’ailleurs, selon cette définition, une série convergente doit nécessairement voir son terme général tendre vers 0, ce qui n’est pas le cas pour la série de Grandi, puisque celui-ci vaut alternativement ?1 ou 1.

On peut montrer qu’il n’est pas valide de faire sur une série des opérations, inoffensives en apparence mais nombreuses, comme réordonner certains termes, sauf si la série est absolument convergente. Si elle ne l’est pas, ces opérations peuvent modifier le résultat de la sommation.

Que les grands mathématiciens des siècles passés se soient cassé les dents sur ce problème est normal, car la formalisation des mathématiques est arrivée bien après.