Ma prépa date un peu mais il me semble que les rayons de convergence résolvent ça assez simplement.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_convergence
De plus parler d’égalité de Série sans citer un théorème ou bien l’ensemble choisis pour la démonstration me semble manquer un poil de rigueur( pour ne pas dire beaucoup).